Question

在平面直角坐標系中，在經過點A（1，0），B（5，0）兩點所有的圓中，⊙P是面積最小的圓，經過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c開口方向向下，且頂點在⊙P上，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：根據⊙P是面積最小的圓，即可得出當圓的半徑為2時，圓最小，再得出二次函數頂點坐標與圖象與x軸交點坐標，再利用頂點式求出即可．

解答：解：∵在經過點A（1，0），B（5，0）兩點所有的圓中，⊙P是面積最小的圓，
∴圓的直徑為：5-1=4，
∴圓的半徑為：2，
∵經過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c開口方向向下，且頂點在⊙P上，
∴二次函數與x軸的交點坐標為：（1，0），（5，0），對稱軸是：x=3，頂點坐標為：（3，2），
∴拋物線的解析式為：y=a（x-3）²+2，將（1，0）代入求出即可，
∴0=a（1-3）²+2，
∴a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-3）²+2．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，根據已知得出圓的半徑以及二次函數的頂點坐標是解題關鍵．