Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，直徑AB=12，∠A=2∠B．
（1）∠A=

 

°，∠B=

 

°；
（2）求BC的長(zhǎng)（結(jié)果用根號(hào)表示）；
（3）連接OC并延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使CP=OC，連接PA，畫(huà)出圖形，求證：PA是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）不難看出∠C應(yīng)該是直角，∠A=2∠B，那么這兩個(gè)角的度數(shù)就容易求得了；
（2）直角三角形ABC中，有斜邊AB的長(zhǎng)，有三角的度數(shù)，BC的值就能求出了；
（3）此題實(shí)際上是證明PA⊥AB，由圖我們不難得出△AOC是等邊三角形，那么就容易證得△ABC≌△OPA，這樣就能求出PA⊥AB了．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=2∠B，
∴∠A=60°，∠B=30°；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=65．
∴BC=

AB2-AC2

=6

3

；

（3）如圖，∵OP=2OC=AB，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形．
∴∠AOC=60°．
在△ABC和△OPA中，
∵AB=OP，∠BAC=∠POA=60°，AC=OA，
∴△ABC≌△OPA．
∴∠OAP=∠ACB=90°．
∴PA是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用和切線的判定等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．