Question

在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，3），作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁關于直線l的對稱圖形△A₂B₂C₂，并寫出△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標；
（2）在直線l上是否存在一點P，使其到A₂、C₂兩點的距離和最小？如果存在，請求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）從直角坐標系中先找到三點的坐標，然后再向y軸引垂線并延長相同長度，得到對應點，順次連接得到△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁的各點向y軸引垂線并延長相同長度，得到對應點，順次連接得到△A₂B₂C₂；
（2）有，根據兩點間，直線最短，可利用軸對稱圖形的性質找到此點．

解答：解：（1）作圖，A₂（4，0）B₂（5，0）C₂（5，3）；（4分）
（2）連接A₁C₂，交直線l于點P，則點P即為所求
滿足PA₂+PC₂的和最小．（5分）
設直線A₁C₂的解析式為：
y=kx+b
則由題意得：

2k+b=0 5k+b=3

．
解得

k=1 b=-2

．
∴直線A₁C₂解析式為y=x-2（7分）
當x=3時，y=1
∴點P坐標（3，1）．（8分）

點評：本題綜合考查了直角坐標系和軸對稱圖形的性質．學生在做題時要注意知識的綜合運用．