Question

【題目】正方形的邊長為，點分別是線段上的動點，連接并延長，交邊于，過作，垂足為，交邊于點.

（1）如圖1，若點與點重合，求證：；

（2）如圖2，若點從點出發，以的速度沿向點運動，同時點從點出發，以的速度沿向點運動，運動時間為.

①設,求關于t的函數表達式；

②當時，連接，求的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①；②5.

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件易證△ABF≌△NAD，由全等三角形的性質即可得；（2）

先證△ABF∽△NAD，根據全等三角形的性質求得；（3）利用△ABF∽△NAD，求得t=2，根據（2）的函數解析式求得BF的長，再由勾股定理即可得FN的長.

試題解析：

【解】

（1）∵正方形

∴AD=AB,∠DAN=∠FBA=90°

∵

∴∠NAH+∠ANH=90°

∵∠NDA+∠ANH=90°

∴∠NAH=∠NDA

∴△ABF≌△NAD

∴

（2）①∵正方形

∴AD∥BF

∴∠ADE=∠FBE

∵∠AED=∠BEF

∴△EBF∽△EAD

∴

∵正方形

∴AD=DC=CB=6

∴BD=

∵點從點出發，以的速度沿向點運動，運動時間為.

∴BE=，DE=

∴

∴

②當時，連接，求的長.

∵正方形

∴∠MAN=∠FBA=90°

∵

∴∠NAH+∠ANH=90°

∵∠NMA+∠ANH=90°

∴∠NAH=∠NMA

∴△ABF∽△NAD

∴

∵，AB=6

∴AN=2,BN=4

∴

∴t=2

把t=2代入，得y=3，即BF=3,

在RT△BFN中，BF=3,BN=4,

根據勾股定理即可得FN=5.