Question

（2013•昭通）如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可；
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數以一次函數聯立求出交點即可；
（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進而求出點P₁的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標．

解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
∴

9a+3b+c=0 16a+4b+c=4 c=0

，
解得：

a=1 b=-3 c=0

，
故拋物線的解析式為：y=x²-3x；

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點B（4，4）得
4=4 k₁，
解得k₁=1．
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴點B向下平移m個單位長度的點B′的坐標為（4，0），
故m=4．
∴平移m個單位長度的直線為y=x-4．
解方程組 

y=x2-3x y=x-4

   
解得：

x=2 y=-2

，
∴點D的坐標為（2，-2）．

（3）∵直線OB的解析式y=x，且A（3，0）．
∵點A關于直線OB的對稱點A′的坐標為（0，3）．
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=

1

4

．
∴直線A′B的解析式為y=

1

4

x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上，
設點N（n，

1

4

n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n．
解得  n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去），
∴點N的坐標為（-

3

4

，

45

16

）．
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則 N₁ （-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
過D點做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點．
∴

OP1

ON

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴點P₁的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△P₁OD沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y軸距離，點到y軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標為：（

45

32

，

3

8

）．
綜上所述，點P的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）和（

45

32

，

3

8

）．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及待定系數法求一次函數和二次函數解析式以及相似三角形的判定與性質等知識，利用翻折變換的性質得出對應點關系是解題關鍵．