Question

如圖，等邊△ABC的邊長為2，E是邊BC上的動點，EF∥AC交邊AB于點F，在邊AC上取一點P，使PE=EB，連接FP．
（1）請直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）
（2）探究：當點E在什么位置時，四邊形EFPC是平行四邊形？并判斷四邊形EFPC是什么特殊的平行四邊形，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，以點E為圓心，r為半徑作圓，根據⊙E與平行四邊形EFPC四條邊交點的總個數，求相應的r的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由平行易得△BFE是等邊三角形，那么各邊是相等的；
（2）當點E是BC的中點時，△PEC為等邊三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四邊形EFPC是平行四邊形，再有EF=EC可證為菱形；
（3）根據各點到圓心的距離作答即可．
解答：解：（1）如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠A=∠C=60°．
又∵EF∥AC，
∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，
∴△BFE是等邊三角形，PE=EB，
∴EF=BE=PE=BF；

（2）當點E是BC的中點時，四邊形是菱形；
∵E是BC的中點，
∴EC=BE，
∵PE=BE，
∴PE=EC，
∵∠C=60°，
∴△PEC是等邊三角形，
∴PC=EC=PE，
∵EF=BE，
∴EF=PC，
又∵EF∥CP，
∴四邊形EFPC是平行四邊形，
∵EC=PC=EF，
∴平行四邊形EFPC是菱形；

（3）如圖所示：
當點E是BC的中點時，EC=1，則NE=ECcos30°=，
當0＜r＜時，有兩個交點；
當r=時，有四個交點；
當＜r＜1時，有六個交點；
當r=1時，有三個交點；
當r＞1時，有0個交點．
點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質和判定，菱形的判定及點和圓的位置關系等知識點．注意圓和線段有交點，應根據半徑作答．