Question

（2005•綿陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一動點P從A出發，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD．
（1）當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；
（2）當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動．過Q作直線QN，使QN∥PM．設點Q運動的時間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm²．
①求S關于t的函數關系式；
②（附加題）求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數可求出AE和PE，即可求出面積；
（2）①此題應分情況討論，因為兩個動點運動速度不同，所以有點P與點Q都在AB上運動、點P在BC上運動點Q仍在AB上運動、點P和點Q都在BC上運動三種情況，在每種情況下可利用三角函數分別求出我們所需要的值，進而求解．
②在①的基礎上，首先①求出函數關系式之后，根據t的取值范圍不同函數最大值也不同．
解答：解：（1）當點P運動2秒時，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）
∴S_△APE=；（4分）

（2）①當0≤t＜6時，點P與點Q都在AB上運動，如圖所示：

設PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，
則AQ=t，AF=，QF=t，
AP=t+2，AG=1+，PG=+t．
∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=t+；（8分）
②當6≤t＜8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動．如圖所示：

設PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，
DF=4-，QF=t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t），
而BD=4，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=-t²+10t-34，（10分）
③當8≤t≤10時，點P和點Q都在BC上運動．如圖所示：

設PM與DC交于點G，QN與DC交于點F，則CQ=20-2t，QF=（20-2t），
CP=10-t，PG=（10-t）．
∴此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．（14分）
故S關于t的函數關系式為；

②（附加題）當0≤t＜6時，S的最大值為，（1分）
當6≤t＜8時，S的最大值為6，（舍去），（2分）
當8≤t≤10時，S的最大值為6，（3分）
所以當t=8時，S有最大值為6．（4分）
（如正確作出函數圖象并根據圖象得出最大值，同樣給4分）
點評：此題解答需數形結合，把函數知識和幾何知識緊密聯系在一起，難易程度適中．