Question

求方程

x+y

x2-xy+y2

=

3

7

的所有整數解．

Answer 1

分析：將原方程化為關于x的一元二次方程，根據根的判別式求出y的取值范圍，再根據y為整數，推出y的整數值，代入方程即可求出x的整數值．

解答：解：以x為主元，將方程整理為3x²-（3y+7）x+（3y²-7y）=0，
∵x是整數，
∴△=[-（3y+7）]²-4×3（3y²-7y）≥0，
∴

21-14 3

9

≤y≤

21+14 3

9

，
∴整數y=0，1，2，3，4，5．
將y的值分別代入原方程中計算知：只有y=4或5時，方程才有整數解，即
y=4時，x=5或x=

4

3

（舍去），
y=5時，x=4或

10

3

（舍去）．
故方程的所有整數解為

x=5 y=4

，

x=4 y=5

．

點評：此題結合方程考查了同學們的邏輯思維能力，解題的核心思路是推出變量的取值范圍再進行試解，直到得出所需結論．