Question

已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=30⁰時，求點P的坐標；
（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90°，OB=6。
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。
∵OP²=OB²+BP²，即（2t）²=6²+t²，解得：t₁=，t₂=－（舍去）．
∴點P的坐標為（，6）。
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。
又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴。
由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11－t，CQ=6－m．
∴。∴（0＜t＜11）。
（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）。

解析