Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P為△ABC內部一點，且PC=AC，∠PCA=120°—．
（1）用含的代數式表示∠APC，得∠APC =_______________________；
（2）求證：∠BAP=∠PCB；
（3）求∠PBC的度數．

Answer 1

（1）∠APC．    
（2）證明：∵CA=CP，
∴∠1=∠2=．
∴∠3=∠BAC－∠1==．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==．
∴∠4=∠ACB－∠5==．
∴∠3=∠4．
即∠BAP=∠PCB．                        
（3）解法一：在CB上截取CM使CM=AP，連接PM（如圖6）．

∵PC=AC，AB=AC，
∴PC=AB．
在△ABP和△CPM中，
           AB=CP，
∠3=∠4，
AP=CM，
∴△ABP≌△CPM．
∴∠6=∠7， BP=PM．
∴∠8=∠9．
∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，
∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．
即（）－∠8=∠9－（）．
∴ ∠8＋∠9=．
∴2∠8=．
∴∠8=．
即∠PBC=．                        
解法二：作點P關于BC的對稱點N，
連接PN、AN、BN和CN（如圖7）． 

則△PBC和△NBC關于BC所在直線對稱．
∴△PBC≌△NBC．
∴BP=BN，CP=CN，
∠4=∠6=，∠7=∠8．
∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠6
==．
∵PC=AC，
∴AC=NC．
∴△CAN為等邊三角形．
∴AN=AC，∠NAC=．
∵AB=AC，
∴AN=AB．
∵∠PAN=∠PAC－∠NAC=（）－=，
∴∠PAN=∠3．
在△ABP和△ANP中，
           AB=AN，
∠3=∠PAN，
AP=AP，
∴△ABP≌△ANP．
∴PB=PN．
∴△PBN為等邊三角形．
∴∠PBN=．
∴∠7=∠PBN =．
即∠PBC=．              

解析