Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CAB＝2∠CBF

(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

(2)若BC＝2，sin∠CBF，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BF3．

【解析】

（1）連接AE，欲證BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可；（2）過點C作CG⊥AB于G，利用三角函數求得AB，從而算出AE，然后利用等面積法得到CG，從而算出AG，利用△ACG∽△AFB，，算出BF即可

(1)證明：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB＝90°，

∴∠1+∠2＝90°．

∵AB＝AC，

∴∠1∠CAB．

∵∠CBF∠CAB，

∴∠1＝∠CBF

∴∠CBF+∠2＝90°

即∠ABF＝90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線；

(2)解：過點C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF，∠1＝∠CBF，

∴sin∠1，

∵BC＝2，

∴BE＝CE，

∴AB＝AC＝6，

∴AE，

∴CG2，

∴AG4，

∵CG∥BF，

∴△ACG∽△AFB，

∴，

∴BF3．