Question

如圖，△ABC中，∠B=∠C=30°，點D是BC邊上一點，以AD為直徑的⊙O恰與BC邊相切，⊙O交AB于E，交AC于F．過O點的直線MN分別交線段BE和CF于M，N，若AN：NC=2：1，則AM：MB的值為（ ）

A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．3：5

Answer 1

【答案】分析：連接OE、OF．設AB=AC=x．根據等腰三角形的性質、切線的性質以及圓的對稱性求得AE=OE=AF=OF=AB；然后由平行線的判定與平行線截線段成比例求得ME：AE=3：5，所以BM=AB-AM=x，據此可以求得AM：MB的值．
解答：解：連接OE、OF．
∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC（等角對等邊）；
又∵AD是⊙O的直徑，BC邊且⊙O于點D，
∴AE=AF（⊙O的對稱性），AD⊥BC（切線的性質），
∴∠DAB=∠DAC=60°（等腰三角形的性質）；
設AB=AC=x，則AD=AB=（30°所對的直角邊是斜邊的一半），
∴AE=OE=AF=OF=．
∵∠DAC=∠EOA=60°，
∴OE∥AC，
∴ME：MA=OE：AN；
∵AN：NC=2：1，
∴AN=x，
∴OE：AN=：x=3：8，
∴ME：（AE+EM）=3：8，
∴ME：AE=3：5，
∴AM=AE+ME=x，
∴BM=AB-AM=x，
∴AM：MB=2：3．
故選C．
點評：本題考查了平行線分線段成比例、等腰三角形的判定與性質、切線的性質等知識點．利用平行線分線段成比例定理解題時，要找準對應關系，以免計算錯誤．