Question

小明參加汽車駕駛培訓，在實際操作考試時，被要求進行啟動加速、勻速運行、制動減速三個連貫過程，在加速和減速運動過程中，路程和速度均滿足關系s=，v為加速或減速的起始速度，加速時a為正，減速時a為負，勻速時a=0，加速或減速t秒后的瞬時速度v=v+at，小明在操作中瞬時速度v與時間t的關系如圖所示，其中OA為勻加速，AB為勻速，BC為勻減速．
（1）若減速過程與加速過程完全相反，即BC與OA關于AB的中垂線成軸對稱，求BC的解析式．
（2）當0≤t≤300時，求汽車行駛的路程s與時間t的函數關系式．
（3）汽車行駛t秒后，
①若經途中D點，過點D作垂線交AB于點E，試證明汽車行駛的路程恰等于四邊形OAED的面積．
②若汽車行駛至M點，過點M做垂線交BC于點N，汽車行駛的路程是否等于五邊形OABNM的面積呢？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據軸對稱的性質求出點C的坐標，再設BC的解析式為y=kt+b，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答即可；
（2）先根據200秒時的瞬時速度求出a，再分0≤t≤200時，為勻加速運動，200＜t≤300時為勻速運動兩段分別進行求解即可；
（3）①根據（2）求出行駛的路程，再求出AE、OD的長，然后利用梯形的面積公式列式計算，即可得證；
②先求出運動至點M時的路程，再根據瞬時速度公式求出運動至點M時的速度，然后根據五邊形OABNM的面積等于兩個梯形的面積之和求出五邊形的面積，即可得解．
解答：（1）解：∵BC與OA關于AB的中垂線成軸對稱，
∴點C的坐標為（500，0），
設BC的解析式為y=kt+b，
把點B（300，120），（500，0）代入得，
，
解得，
所以，BC的解析式為y=-t+300（300≤t≤500）；

（2）解：∵200秒時的速度為120，
∴0+200a=120，
解得a=0.6，
∴①0≤t≤200時，S=0•t+at²=×0.6×t²=0.3t²；
②200＜t≤300時，S=0.3×200²+120（t-200）=120t-12000；

（3）證明：①汽車經途中D點時，S=120t-12000，
此時，AE=t-200，OD=t，
∴四邊形OAED的面積=（t-200+t）×120=120t-12000，
∴汽車行駛的路程恰等于四邊形OAED的面積；
②∵從300秒時開始減速，
∴運動至點M時，瞬時速度y=120+a（t-300），
運動至M點，S=120×300-12000+120（t-300）+a（t-300）²，
=a（t-300）²+120（t-300）+24000，
∵AB=300-200=100，
五邊形OABNM的面積=（100+300）×120+[120+a（t-300）+120]×（t-300），
=24000+a（t-300）²+120（t-300），
所以，汽車行駛的路程等于五邊形OABNM的面積．
點評：本題考查了二次函數的應用，主要利用了待定系數法求一次函數解析式，軸對稱的性質，讀懂題目信息，理解并列出加速時運動的路程是解題的關鍵，要注意加速和減速運動過程中的瞬時速度與加速和減速行駛的路程，要從開始加速和開始減速開始計時，這也是本題比較難理解的地方．