Question

（2007•上海）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延長線于點E，∠B=2∠E．
（1）求證：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=，求邊BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：AB=DC，即證明梯形是等腰三角形，只要證明∠B=∠BCD就可以．
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分別為F，G，則BC=BF+FG+GC，因而本題就可以轉化為求BF，FG，GC的長度的問題，根據勾股定理就可以求出．
解答：（1）證明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E．（1分）
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，（1分）
∴∠BCD=2∠E，（1分）
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．（1分）
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分）

（2）解：如圖，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分別為F，G，則AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分）
又∵AB=，且AB²=AF²+BF²，
∴5=4BF²+BF²，得BF=1．（1分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．
又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB=，∴AD=．（1分）
∵AD∥BC，AF∥DG，∴四邊形AFGD是平行四邊形，∴FG=AD=．（1分）
∴BC=BF+FG+GC=2+．（1分）
點評：本題主要考查了等腰三角形的判定方法，證明同一底上的兩個底角相等．梯形的問題可以通過作高線轉化為直角三角形，與矩形的問題．