Question

如圖，AB是圓O的直徑，CD與圓O相切于點C，AE⊥CD于E，延長BC與AE交于點F，且AF=BF，求∠A的度數．

Answer 1

分析：由CD為圓O的切線，根據切線的性質得到OC垂直于CD，又AE也垂直于CD，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到OC平行AF，因為AB為直徑，所以O為AB中點，根據平行線等分線段定理得到C為BF中點，則OC為三角形ABF的中位線，根據中位線定理得到OC等于AF的一半，由OC等于AB的一半，得到AB與AF相等，又AF與BF相等，得到三角形ABF為等邊三角形，進而得到∠A的度數．

解答：解：∵CD與圓O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，（2分）
∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，
∴OC∥AF，（2分）
∵O是AB的中點，
∴OC=

1

2

AF，（2分）
AF=2OC=AB，（2分）
∵AF=BF，
∴AF=BF=AB，
∴△ABF是等邊三角形，
∴∠A=60°（2分）

點評：本題考查了圓的切線性質、等邊三角形的判斷與性質及三角形中位線定理等知識．運用切線的性質及平行線等分線段定理得到△ABF是等邊三角形是本題的關鍵．