Question

【題目】點D、E分別是△ABC兩邊AB、BC所在直線上的點，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD＝2BD.

(1) 如圖1，當點D、E分別在AB、CB的延長線上時，求證：BE＝BD

(2) 如圖2，當點D、E分別在AB、BC邊上時，BE與BD存在怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并證明

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=3BD

【解析】

（1）在BD上找一點M，連接EM，使EM=ED，如圖1.證明

可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得結論；

（2）在AB上找一點M，連接EM，使EM=ED，如圖2.證明可得 由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得結論.

（1）在BD上找一點M，連接EM，使EM=ED，如圖1.

則∠BDE=∠EMD.

∵∠BDE+∠ACB=180°，

∴∠EMB=∠ACB.

∵DE=AC,

∴EM=AC

在△EMB和△ACB中，

∴EB=AB

∵AD=2BD，

∴AB=AD-BD=BD.

∴BE=BD；

(2) BE=3BD，理由如下：在AB上找一點M，連接EM，使EM=ED，如圖2.

則∠MDE=∠EMD.

∵DE=AC,

∴EM=AC.

∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，

∴∠EMD=∠ACB

∵∠EBM=∠ABC,

∵AD=2BD,

∴AB=AD+BD=3BD

.

∴BE=3BD