Question

15．己知AB是⊙O的直徑，F是BA延長線上一點，FD是⊙O的切線，切點為D，BE⊥FD，交FD的延長線于點E，交⊙O于點C．
（1）如圖1，連接BD，求證：∠1=∠2；
（2）如圖1，連結CD，若AB=10，BC=6，求CD的長；
（3）如圖2，當AB=8，BC=4時，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明OD∥BE，可得∠1=∠ODB，由OD=OB，可得∠ODB=∠2，即可證明∠1=∠2．
（2）如圖1中，連接AC交OD于N．首先證明OD⊥AC，可以推出AN=CN=DE=4，再由△EDC∽△EBD，得DE²=EC•EC，設EC=x，則16=x（x+6），解方程即可解決問題．
（3）如圖2中，連接AC、OD、OC、DC．首先證明DC∥AB，推出由AB=2BC，推出∠BAC=30°，推出△DOC是等邊三角形，推出S_△DCB=S_△DCO，
推出S_陰=S_扇形O-DC，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OD．

∵EF是切線，
∴OD⊥EF，
∵BE⊥EF，
∴OD∥BE，
∴∠1=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠2，
∴∠1=∠2．

（2）解：如圖1中，連接AC交OD于N．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
由（1）可知，OD∥BE，
∴∠ANO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴AN=CN，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵∠E=∠NDC=∠NCE=90°，
∴四邊形DECN是矩形，
∴AN=CN=DE=4，
∵∠E=∠E，∠EDC=∠EBD，
∴△EDC∽△EBD，
∴DE²=EC•EC，設EC=x，則16=x（x+6），
∴x²+6x-16=0，
∴x=2或-8（舍棄），
∴EC=2，DC=$\sqrt{D{E}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）解：如圖2中，連接AC、OD、OC、DC．

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8，BC=4，
∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
由（1）可知，OD∥BE，
∴∠DOF=∠ABC=60°，
∵○BOC=2∠BAC=60°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△DOC是等邊三角形，
∴∠DCO=∠BOC=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△DCB=S_△DCO，
∴S_陰=S_扇形O-DC=$\frac{60}{360}$•π•4²=$\frac{8}{3}$π．

點評 本題考查切線的性質、扇形的面積、勾股定理、直徑的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用方程的扇形思考問題，學會把求不規則圖形的面積，轉化為求規則圖形的面積，屬于中考常考題型．