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如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交于點C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的兩個根.
(1)求A、B兩點坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M是線段AB上的一個動點(不與A、B兩點重合),過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,在M點運動時,△CMN的面積是否存在最大值?若存在,求出△CMN面積最大時點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)通過解方程能求出兩根,再根據題干給出的大小關系確定A、B點的坐標.
(2)已知A、B、C三點坐標,利用待定系數法即可確定該函數的解析式.
(3)首先設點M的坐標,然后表示出AM的長;已知MN∥BC,利用相似三角形△AMN、△ABC求出△AMN的面積表達式;以AM為底、OC為高易得△ACM的面積,△ACM、△AMN的面積差即為△MNC的面積,再根據所得函數的性質來判斷△MNC是否具有最大面積.
解答:解:(1)∵x2-4x-12=0,
∴x1=-2,x2=6.
即:A(-2,0),B(6,0).

(2)∵拋物線過點A、B、C,
∴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),將點C的坐標代入,得:
-4=a(0+2)(0-6),
解得a=
∴拋物線的解析式為y=x2-x-4.

(3)存在.
設點M的坐標為(m,0),過點N作NH⊥x軸于點H
∵點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(6,0),
∴AB=8,AM=m+2.
∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC.
=,∴=
∴NH=
∴S△CMN
=S△ACM-S△AMN
=•AM•CO-•AM•NH
=(m+2)(4-
=-m2+m+3
=-(m-2)2+4.
∴當m=2時,S△CMN有最大值4.
此時,點M的坐標為(2,0).
點評:本題主要考查的知識點有:利用待定系數法求二次函數解析式的方法、圖形面積的解法、相似三角形的性質等;在求解圖形面積問題時,通常可以先找出與所求相關的規則圖形,然后利用圖形面積間的和差關系來找出突破口.
練習冊系列答案
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(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標;
(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎?為什么?
(3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請指出符合條件的點P的位置,并直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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精英家教網如圖,拋物線與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x1<x2,與y軸交于點C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的兩個根.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段AB上的一個動點,過點M作MN∥BC,交AC于點N,連接CM,當△CMN的面積最大時,求點M的坐標;
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2012•歷下區一模)如圖,拋物線與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于C(0,3),M是拋物線對稱軸上的任意一點,則△AMC的周長最小值是
10
+5
10
+5

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如圖,拋物線與y軸交于點A(0,4),與x軸交于B、C兩點.其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0兩根,且OB<OC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)直線AC上是否存在點D,使△BCD為直角三角形.若存在,求所有D點坐標;反之說理;
(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點(A點除外),連PA、PC,若設△PAC的面積為S,P點橫坐標為t,則S在何范圍內時,相應的點P有且只有1個.

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如圖,拋物線與x軸交于A、B(6,0)兩點,且對稱軸為直線x=2,與y軸交于點C(0,-4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是拋物線對稱軸上的一個動點,連接MA、MC,當△MAC的周長最小時,求點M的坐標;
(3)點D(4,k)在(1)中拋物線上,點E為拋物線上一動點,在x軸上是否存在點F,使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,如果存在,直接寫出所有滿足條件的點F的坐標,若不存在,請說明理由.

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