Question

在坐標平面內，半徑為R的⊙O與x軸交于點D（1，0）、E（5，0），與y軸的正半軸相切于點B．點A、B關于x軸對稱，點P（a，0）在x的正半軸上運動，作直線AP，作EH⊥AP于H．
（1）求圓心C的坐標及半徑R的值；
（2）△POA和△PHE隨點P的運動而變化，若它們全等，求a的值；若給定a=6，試判定直線AP與⊙C的位置關系（要求說明理由）．

Answer 1

解：（1）連接BC，則BC⊥y軸．
取DE中點M，連CM，則CM⊥x軸．
∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB²=OD•OE=5，
∴OB=．
∴圓心C，半徑R=3．

（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=，OE=5，OP=a，
∴PA²=a²+5，
PE²=（5-a）²，
∴a²+5=（a-5）²，
a=2．

（3）解法一：
過點A作⊙C的切線AT（T為切點），交x軸正半軸于Q．
設Q（m，0），則QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=．
由QT²=QE•QD，
得=（m-5）（m-1），
2=3m+10，
11m²-60m=0．
∵m＞0，
∴m=．
∵a=6，點P（6，0），在點Q的右側，
∴直線AP與⊙C相離．

解法二：
設射線AP、BC交于點F，作CT⊥AF于T．
∵△AOP∽△CTF，
∴．
而AO=，AP=，
CF=BF-BC=12-3=9，
∴，
CT==3=R，
∴直線AP與⊙C相離．
分析：（1）由題意知圓心C點的橫坐標為DE中點的坐標，縱坐標和B點縱坐標相等，用切割線定理求出OB的長即可，C點的橫坐標等于半徑；
（2）因為△POA≌△PHE，OE的長為直角邊和斜邊的和，而OE的長已求，用OP表示PE，并且OA=OB．
根據勾股定理求出OP的長即為a的值，過A作圓的切線為標準證明AP與⊙C的關系．
點評：考查了直線與圓的位置關系；能夠根據全等，相似三角形，勾股定理求線段等多個知識點．