Question

（2000•陜西）如圖，已知弦AB等于半徑，連接OB并延長(zhǎng)使BC=OB．
（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）請(qǐng)你在⊙O上選取一點(diǎn)D，使得AD=AC．（自己完成作圖，并給出證明過(guò)程）

Answer 1

【答案】分析：（1）BC=OB=AB，根據(jù)三角形等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理，即可證明∠OAC=90度，即可得到AC是圓的切線(xiàn)；
（2）①作BO延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于D，連接AD，根據(jù)△AOD≌△ABC即可證得；
②如圖，在圓上取一點(diǎn)D′，使得∠D′OA=120°，連接AD′，根據(jù)△AOD′≌△ABC，即可求證．
解答：（1）證明：∵AB=OB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=∠OBA=30°，（2分）
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=60°+30°=90°．
即OA⊥CA．
∴AC是⊙O的切線(xiàn)．（4分）

（2）解：①作BO延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于D，連接AD．

∴△AOD≌△ABC，
∴AD=AC．
所以D點(diǎn)為所求．
②如圖，在圓上取一點(diǎn)D′，使得∠D′OA=120°，連接AD′．

∴△AOD′≌△ABC
∴AD′=AC（9分）
所以D′點(diǎn)也為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．