Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結論；
（3）在（2）的條件下，當BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題要證明DC=BC不能用全等三角形的性質，利用tan∠ADC=2求出BC然后再判定相等；
（2）容易證明△DEC≌△BFC，得CE=CF，∠ECD=∠FCB，這樣容易證明△ECF是等腰直角三角形；
（3）由∠BEC=135°得∠BEF=90°，這樣求sin∠BFE，然后利用已知條件就可以求出它的值了．
解答：（1）證明：過A作DC的垂線AM交DC于M，則AM=BC=2．
又tan∠ADC=2，
∴DM==1，
即DC=BC；

（2）解：等腰直角三角形．
證明：因為DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC，
∴△DEC≌△BFC，
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；

（3）解：設BE=k，則CE=CF=2k，
∴EF=2k，
∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°，
∴∠BEF=90°，
所以BF==3k，
所以sin∠BFE==．
點評：本題考查三角函數、全等三角形的應用、等腰三角形的判定等知識點的綜合應用及推理能力、運算能力．