Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點O為AB邊的中點，點M是BC邊上一動點（不與點B、C重合），AD⊥AB，垂足為點A．連接MO，將△BOM沿直線MO翻折，點B落在點B₁處，直線M B₁與AC、AD分別交于點F、N．
（1）當∠CMF=120°時，求BM的長；
（2）設BM=x，y=，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）連接NO，與AC邊交于點E，當△FMC和△AEO相似時，求BM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據翻折變換的性質得出，當∠CMF=120°時，∠BMO=30°，再利用MB=求出即可；
（2）首先得出△ANO≌△B₁NO，進而得出△MB₁O∽△OB₁N，△CMF∽△ANF，利用相似三角形的性質得出===，即可得出答案；
（3）根據△FMC和△AEO相似得出有兩種情況即：當△FMC∽△AEO時或當△FMC∽△AOE時，分別利用相似三角形的性質以及解直角三角形求出即可．
解答：解：（1）當∠CMF=120°時，
∵將△BOM沿直線MO翻折，點B落在點B₁處，
∴∠BMO=∠OMB₁，
∵∠CMF=120°，
∴∠BMO=30°，
∵AB=BC=4，點O為AB邊的中點，
∴BO=2，
∴Rt△MOB中，MB===2，；

（2）連接ON，
由（1）可得：
在Rt△ANO和Rt△B₁NO中，
∵
∴△ANO≌△B₁NO（HL），
∴∠AON=∠B₁ON，AN=NB₁，
又∵∠MOB₁=∠MOB，
∴∠NOM=90°，
∴∠OMN=∠NOB₁，
又∵∠OB₁M=∠OB₁N=∠B=90°，
∴△MB₁O∽△OB₁N，
∴
∴，
又∵MB₁=MB=x，OB₁=OB=2，
∴2²=x•NB₁，
∴，
∴，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
又∵∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△CMF∽△ANF，
∴====-x²+x，
∴y=-x²+x（0＜x＜4）；

（3）由題意知：∠EAO=∠C=45°
∵△FMC和△AEO相似，
∴只有兩種情況：當△FMC∽△AEO時或當△FMC∽△AOE時，
①如圖2，當△FMC∽△AEO時，有∠FMC=∠AEO，∠CFM=∠AOE，
可證：∠AOE=∠OMB=∠FMO，
則∠CFM=∠FMO，
∴OM∥AC，
∴∠OMB=∠C=45°，
∴Rt△MOB中，MB=OB•tan45°=2，
②如圖3，當△FMC∽△AOE時，
則∠FMC=∠AOE，
∵∠AOE=∠OMB=∠OMF，
∴∠CMF=∠OMF=∠OMB=60°，
∴Rt△MOB中，MB==，
所以，綜上述，知BM=2或．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及翻折變換的性質和銳角三角函數等知識，根據已知△FMC和△AEO相似進行分類討論得出是解題關鍵．