Question

已知關于x的方程（m-1）x²+2mx-1=0有正實數根，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：討論：當m-1=0，即m=1時，可解得x=；當m-1≠0，即m≠1，設方程的兩實數根為x₁，x₂，根據根的判別式得到△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，可解得x≤或x≥；
根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-＞0，x₁•x₂=-＞0，由于m-1＜0，則2m＞0，于是0＜m＜1，然后縱綜合兩種情況即可得到m的范圍．
解答：解：當m-1=0，即m=1時，方程變形為2x-1=0，解得x=；
當m-1≠0，即m≠1，
設方程的兩實數根為x₁，x₂，
根據題意得△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，即m²+m-1≥0，解得x≤或x≥；
x₁+x₂=-＞0，x₁•x₂=-＞0，
∴m-1＜0，
∴2m＞0，
∴0＜m＜1，
∴當≤x＜1時，方程有兩個正實數根，
綜上述，m的范圍為≤x≤1．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系．