Question

已知拋物線的頂點是C (0，a) (a>0，a為常數)，并經過點(2a，2a)，點D（0，2a）為一定點.

(1)求含有常數a的拋物線的解析式；

(2)設點P是拋物線任意一點，過P作PH⊥x軸，垂足是H，求證：PD = PH；

(3)設過原點O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點，若DA=2DB，且S_△ABD = 4，求a的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=kx²+a                    (1分)

           ∵點D（2a，2a）在拋物線上，

           4a²k+a = 2a     ∴k =                        (3分)

           ∴拋物線的解析式為y=x²+a                 （4分）

       （2）設拋物線上一點P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，在Rt△GDP中，

           由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²    

                                                          (5分) 

          ∵y= x²+a  ∴x² = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a²     (6分)

          ∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²

          ∴PD = PH 

       （3）過B點BE ⊥ x軸，AF⊥x軸.

           由（2）的結論：BE=DB AF=DA

           ∵DA=2DB ∴AF=2BE ∴AO = 2BO

           ∴B是OA的中點，

           ∴C是OD的中點，

          連結BC

          ∴BC= = = BE = DB                (9分)

          過B作BR⊥y軸，

          ∵BR⊥CD  ∴CR=DR，OR= a+ = ，

          ∴B點的縱坐標是，又點B在拋物線上，

          ∴ = x²+a  ∴x² =2a²

          ∵x>0     ∴x = a

          ∴B (a，)                         (10分)

          AO = 2OB， ∴S_△ABD=S_△OBD = 4

         所以，´2a´a=4

         ∴a²= 4   ∵a>0  ∴a =2              (12分)

 

 

 

 

解析:略