Question

【題目】已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D為BC的中點.

(1)如圖,E、F分別是AB、AC上的點,且BE=AF,求證:△DEF為等腰直角三角形.

(2)若E、F分別為AB,CA延長線上的點,仍有BE=AF,其他條件不變,那么,△DEF是否仍為等腰直角三角形?畫出圖形,寫出結論不證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)先連接AD，構造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

(2)根據題意畫出圖形,連接AD,構造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.

解：（1）連結AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D為BC中點 ,

∴AD⊥BC ,BD=AD ,

∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,

又∵BE=AF ,

∴△BDE≌△ADF（SAS）,

∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,

∴△DEF為等腰直角三角形.

（2）連結AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D為BC中點 ,

∴AD=BD ,AD⊥BC ,

∴∠DAC=∠ABD=45° ,

∴∠DAF=∠DBE=135°,

又∵AF=BE ,

∴△DAF≌△DBE（SAS）,

∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.

∴△DEF為等腰直角三角形.