Question

如圖，已知AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC于點D．

（1）證明：直線PB是⊙O的切線；

（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的長．

 

 

Answer 1

(1)見解析；(2)BC=.

【解析】

試題分析：（1）連接OB．利用SAS證明△POB≌△POA，根據全等三角形對應角相等得出∠PBO=∠PAO=90°，即直線PB是⊙O的切線；

（2）根據△POB≌△POA得出PB=PA，由已知條件“BD=2PA”、等量代換可以求得BD=2PB；然后由相似三角形（△DBC∽△DPO）的對應邊成比例可以求得BC=PO，然后由勾股定理求出PO即可．

試題解析：

（1）證明：連接OB．

∵BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又OC=OB，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠POB=∠POA．

在△POB與△POA中，

，

∴△POB≌△POA（SAS），

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB是⊙O的切線；

（2）【解析】
∵△POB≌△POA，

∴PB=PA．

∵BD=2PA，

∴BD=2PB．

∵BC∥OP，

∴△DBC∽△DPO，

∴，

∴BC=PO=．

考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質