Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C點．AD交于⊙O點E．
（1）探索AC滿足什么條件時，有AD⊥CD，并加以證明；
（2）當AD⊥CD，AD=4，AB=5時，求AC、DE的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）當AD⊥CD時，∠ACD+∠DAC=90°．根據弦切角定理，∠ACD=∠B，而∠B+∠BAC=90°，因此可得出∠BAC=∠CAD，因此AC需要滿足的條件是AC是∠BAD的平分線；
（2）本題的關鍵是求CD的長，可先根據三角形ABC和ACD相似，求出AC的長，然后在直角三角形ACD中求出CD的長，進而根據切割線定理求出DE的長．
解答：解：（1）AC是∠BAD的平分線時，AD⊥CD，
證明：連接BC，
則∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圓O的切線，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
即∠D=90°，AD⊥CD；

（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD，
∵∠ACB=∠D=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD•AB=20；
解得AC=2，
直角三角形ACD中，
根據勾股定理可得CD=2，
根據CD是圓的切線可得：CD²=AD•DE，即DE=CD²÷AD=4÷4=1．
點評：本題主要考查了切線的性質，圓周角定理以及弦切角的綜合應用．