Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線CD交x軸、y軸于點C、D，點B在x軸上，且點B、C到坐標原點O的距離的比為1：3，點D在y軸上，且AD的長為7，若tan∠OCD=3，sin∠ABO=，
（1）求A、B、C三點坐標．
（2）點E在直線CD上，點E的橫坐標為-2，在直線y=x+4上存在某點P使直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，求出點P坐標及直線PE的解析式．
（3）半徑為的⊙M從原點出發，沿x軸負方向運動；半徑為的⊙N從原點出發，沿y軸正方向運動，如果⊙M、⊙N同時出發 且速度相同，當⊙M與直線y=x+4相切時，試判斷⊙N與②中所求的直線的位置關系；并說明理由．

Answer 1

解：（1）設OB=x，
∵點B、C到坐標原點O的距離的比為1：3，
∴OC=3x，
∵tan∠OCD=3，
∴OD=3OC=3×3x=9x，
∵sin∠ABO=，
∴tan∠ABO=2，
∴OA=2OB=2x，
∴AD=OD-OA=9x-2x=7，
解得x=1，
∴2x=2，3x=3，
點A（0，2），B（-1，0），C（-3，0）；

（2）∵OD=2+7=9，
∴點D的坐標為（0，9），
設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直線CD的解析式為y=3x+9，
x=-2時，y=3×（-2）+9=3，
∴點E（-2，3），
過點E作EF⊥y軸于F，則點F（0，3），
則EF=OA=2，
∵直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，
∴①點P在EF的上方時，直線PE與y軸的交點坐標為（0，4），
此時，設直線PE的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線EP的解析式為y=x+4，
此時，（0，4）在直線y=x+4設，
所以，點P的坐標為（0，4），
②點P在EF的下方時，直線PE與y軸的交點坐標為（0，2），
此時，設直線PE的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線EP的解析式為y=-x+2，
聯立，
解得，
∴點P的坐標為（-，）；

（3）令x=0，則y=×0+4=4，
由勾股定理得，=5，
∴直線y=x+4與x軸所成角的正弦為，
∵⊙M與直線y=x+4相切，
∴CM=÷=2，
∴CM=3-2=1，
∵⊙M、⊙N同時出發 且速度相同，
∴ON=1，
∴點N到直線EP的解析式為y=-x+2的距離為：（2-1）×=，
與⊙N相切，
點N到直線EP的解析式為y=x+4的距離為：（4-1）×=＞，
與⊙N相離．
分析：（1）設OB=x，根據比例求出OC，再根據tan∠OCD=3表示出OD，根據∠ABO的正弦求出正切值，再求出OA，然后表示出AD，列方程求出x，再結合圖形寫出點A、B、C的坐標即可；
（2）先求出點D的坐標，再利用待定系數法求出直線CD的解析式，然后求出點E的坐標，過點E作EF⊥y軸于F，再分點P在EF的上方和下方兩種情況求出直線EP與y軸的交點，然后利用待定系數法求一次函數解析式，然后聯立兩直線解析式求出點P的坐標即可；
（3）求出直線y=x+4與x軸所成角的正弦，再根據直線與圓相切求出CM的長，然后求出OM，再根據⊙M、⊙N同時出發 且速度相同求出ON的長度確定出點N的坐標，然后求出點N到EP的距離，再根據圓與直線的位置關系解答．
點評：本題是一次函數綜合題型，主要利用了銳角三角三角函數，勾股定理，待定系數法求一次函數解析式，以及直線與圓的位置關系的判定，（2）難點在于要根據點P的位置分情況討論，（3）根據直線與圓相切求出OM，從而得到ON的長是解題的關鍵．