Question

如圖，在?ABCD中，AE是∠BAD的角平分線，交CD于點E，與BC的延長線交于點M，CF是∠BCD的角平分線，交AB于點F，交DA的延長線于點N．
（1）試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由；
（2）求證：AN=CM．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形AFCE的形狀是平行四邊形，利用已知條件證明AE∥CF即可；
（2）由（1）知AF=CE，再證明CM=CE，同理可得AN=AF，進而證明AN=CM．
解答：解：（1）平行四邊形，
理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠AMC，
∵AE是∠BAD的角平分線，CF是∠BCD的角平分線，
∴∠MAD=∠DAB，∠BCF=∠BCD，
∴∠MAD=∠BCF，
∴∠BCF=∠AMC，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四邊形AFCE的形狀是平行四邊形；
（2）證明：由（1）知AF=CE，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAD=∠DAB，
∵∠MEC=∠DEA，
∴∠MEC=∠DAB，
∵∠AMC=∠MAD=∠DAB，
∴∠MEC=∠AMC，
∴CM=CE，同理可得AN=AF，
∴AN=CM．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定、角平分線的性質以及等腰三角形的判定和性質，題目的綜合性較強，難度中等．