Question

同學們，這學期我們學過不少定理，你還記得“在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，請你寫出它的逆命題，并證明它的真假．

Answer 1

解：原命題的逆命題為：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°．
已知：△ABC中，BC=AB，∠ACB=90°．
求證：∠BAC=30°
證明：延長BC至D，使CD=BC．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
在△ACD和△ABC中，，
∴△ACD≌△ABC，
∴AD=AB．
∵AB=2BD，BC=DC，
∴AB=DB，
∴△ADB為等邊三角形．
∴∠B=60°．
∵AC⊥DB，
∴∠CAB=30°．
分析：逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30°．
證明方法：延長BC至D，使CD=BC，由等腰三角形的性質可知∠ACB=90°，則△ACD≌△ABC，故∠BAC=30°．
點評：本題考查的是直角三角形的性質和等邊三角形的判定．