Question

如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=EC，連接EF，DE，DF，M是FE中點(diǎn)，連接MC，設(shè)FE與DC相交于點(diǎn)N．
（1）在以下結(jié)論①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正確的有______，請(qǐng)選擇一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論進(jìn)行證明．
（2）若MC=，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）①②③，選擇②進(jìn)行證明．連接BM、DM．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BM=EF=MD．運(yùn)用“SSS”證明△BCM≌△DCM，得∠BCM=∠DCM；最后由正方形的性質(zhì)推知MC垂直平分BD；
（2）過點(diǎn)M作MQ⊥BC于點(diǎn)，構(gòu)建直角三角形BEF的中位線MQ；根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)推知∠MCQ=45°；然后利用銳角三角函數(shù)求得MQ=1；最后根據(jù)三角形中位線定理求得BF的長(zhǎng)．
解答：解：（1）①②③．
②MC垂直平分BD，
證明如下：連接BM、DM．
∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠DCE=90°，AD=CD；
又∵AF=EC（已知），
∴△AFD≌△CED．（SAS）
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE．
∴∠FDE=∠ADC=90°．
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，
∴MD=EF；
∵BM=EF，
∴MD=MB=PC．
又 DC=BC，MC是公共邊，
∴△DCM≌△BCM，（SSS）
∴∠BCM=∠DCM，即DP平分∠ADC，
∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，
∴MC垂直平分BD；

（2）過點(diǎn)M作MQ⊥BC于點(diǎn)．
由（1）知，CM即BD的中垂線，
∴∠MCQ=45°；
又∵點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，
∴MQ是直角三角形EFB的中位線，
∴MQ=BF；
又∵M(jìn)C=
∴MQ=1，
∴BF=2MQ=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的相關(guān)性質(zhì)，三角形的全等，線段中垂線的判定．特殊的四邊形一直是中考的熱點(diǎn)，所以想設(shè)計(jì)一題此類的綜合壓軸題，能適當(dāng)結(jié)合證明與計(jì)算，并且能讓學(xué)生有回旋余地，故設(shè)計(jì)了第（1）小題的開放題，當(dāng)然這三個(gè)結(jié)論在證明的難易程度中我認(rèn)為是不相上下的，任何一個(gè)結(jié)論的得到都需要一定的思維量，因?yàn)榭疾榈闹�識(shí)點(diǎn)都很豐富．當(dāng)然若是選擇第二個(gè)結(jié)論的證明，將對(duì)第（2）小題有鋪墊作用，難易程度--難．