Question

13、已知定由“若大于3的三個質數a、b、c滿足關系式2a+5b=c，則a+b+c是整數n的倍數”．試問：這個定理中的整數n的最大可能值是多少？請證明你的結論．

Answer 1

分析：先將a+b+c化為3（a+2b）的形式，說明a+b+c是3的倍數，然后利用整除的性質對a、b被3整除后的余數加以討論，得出a+2b也為3的倍數．

解答：證明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），
顯然，3|a+b+c，
若設a、b被3整除后的余數分別為r_a、r_b，則r_a≠0，r_b≠0．
若r_a≠r_b，則r_a=2，r_b=1或r_a=1，r_b=2，
則2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2P+5q+4），
即2a+5b為合數與已知c為質數矛盾．
∴只有r_a=r_b，則r_a=r_b=1或r_a=r_b=2．
于是a+2b必是3的倍數，從而a+b+c是9的倍數．
又2a+5b=2×11十5×5=47時，
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b=2×13十5×7=61時，
a+b+c=13+7+61=81，
而（63，81）=9，故9為最大可能值．

點評：本題考查了數的整除性問題．由余數切入進行討論，是解決整除問題的重要方法．