Question

如圖，已知：△ABC為邊長是的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長是6的正方形．現將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發，以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當點C與點F重合時暫停運動，設△ABC的運動時間為t秒（t≥0）．

（1）在整個運動過程中，設等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式；

（2）如圖2，當點A與點D重合時，作∠ABE的角平分線BM交AE于M點，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請求出線段EH的長度；若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長為的正方形，△ABC的移動速度為每秒個單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時，Q點從F點開始，沿折線FG﹣GD以每秒個單位長度開始移動，△ABC停止運動時，Q點也停止運動．設在運動過程中，DE交折線BA﹣AC于P點，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）見解析

（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出時重疊部分的面積，當時用S_△ABC﹣就可以求出重疊部分的面積．

（2）當點A與點D重合時，，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時，②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，從而可以求出答案．

（3）再運動中當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

解：（1）當時，

當時，．

（2）當點A與點D重合時，，

∵BM平分∠ABE，

∴

∴ME=2，

∵∠ABM=∠BAM，

∴AM=BM=4，

∵△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=30°，AN=4

①AN=AH=4時，，

②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，∴舍去，

③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，如圖1，

∴，

∴．

（3）當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，

∴，

∴，

∴；

當2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDE，

∴，

∴，

∴

∴，

∴t₁=4，．

點評：本題考查了求函數的解析式，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的運用．