Question

（2009•沈陽）將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點F．
（1）求證：AF+EF=DE；
（2）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結論是否仍然成立；
（3）若將圖①中的△DBE繞點B按順時針方向旋轉角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認為（1）中猜想的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）我們已知了三角形BED和CAB全等，那么DE=AF+CF，因此只要求出EF=CF就能得出本題所求的結論，可通過全等三角形來實現，連接BF，那么證明三角形BEF和BCF全等就是解題的關鍵，這兩三角形中已知的條件有BE=BC，一條公共邊，根據斜邊直角邊定理，這兩個直角三角形就全等了，也就得出EF=CF，也就能證得本題的結論了；
（2）解題思路和輔助線的作法與（1）完全一樣；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．
解答：（1）證明：連接BF（如圖①），
∵△ABC≌△DBE（已知），
∴BC=BE，AC=DE．
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴∠BCF=∠BEF=90°．
∵BF=BF，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE．
∴CF=EF．
又∵AF+CF=AC，
∴AF+EF=DE．

（2）解：畫出正確圖形如圖②
∴（1）中的結論AF+EF=DE仍然成立；

（3）不成立．
證明：連接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，通過構建全等三角形來得出簡單的線段相等是解題的關鍵．