Question

如圖，已知正方形OABC的邊長為 2，點D為 CO的中點，拋物線經過點A，且頂點為 D，點P為拋物線上的動點，且橫坐標為 m。
(1)求該拋物線的解析式。
(2)過點P作直線EP平行于y軸，交BC所在直線于點E，連接OP，某數學小組在探究時發現：動點P到BC所在直線的距離PE始終等于OP，你認為正確嗎？請說明理由。
(3)在(2)中，連接OE，當△OPE為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形時，分別求 m的取值范圍。

Answer 1

解：(1)由題意知點D的坐標為(0，1)， 故設該拋物線的解析式為 y = ax² +1，
將 A(2，0)代人，解得，∴該拋物線的解析式為y= 。  
(2)正確    
理由：由題可知，動點P的坐標為(m，)，
則OP ==
PE =即OP =PE，故該數學小組的結論是正確的。      
(3)當△OPE為直角三角形時，m =±2；
當△OPE為鈍角三角形時，- 2<m<2且m≠0；
當△OPE為銳角三角形時，m< -2或m>2；
當△OPE為等邊三角形時，x軸垂直平分EP，即，解得m =