Question

如圖，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中點，BF⊥EC于F，連接FD，FG⊥FD交直線BC于點G．
（1）求證：△FBG∽△FCD；
（2）當n=1時，求CG：BC的值；
（3）當CG：BC=7：8時，求n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，BF⊥EC，FG⊥FD，利用同角的余角相等，易證得∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，即可得△FBG∽△FCD；
（2）由當n=1時，AD=AB，可得四邊形ABCD是正方形，又由E是AB的中點，可得在Rt△BCF中，=，繼而求得CG：BC的值；
（3）易求得在Rt△EBC中，tan∠BCE==，可得在Rt△BCF中，=，又由BG：CD=1：8，即可求得n的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ACD=90°，
即∠BCF+∠DCF=90°，
∵BF⊥EC，FG⊥FD，
∴∠FBC+∠BCF=90°，∠BFG+∠GFC=90°，∠GFC+∠CFD=90°，
∴∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，
∴△FBG∽△FCD；

（2）當n=1時，AD=AB，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵E是AB的中點，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE==，
∴在Rt△BCF中，=，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2，
即BG：BC=1：2，
∴CG：BC=1：2；

（3）∵CG：BC=7：8，
∴BG：BC=1：8，
∴BG：CD=n：8，
∵E是AB的中點，
∴BE=AB，
∵AD=nAB，
∴在Rt△EBC中，tan∠BCE==，
∴在Rt△BCF中，=，
∵△FBG∽△FCD；
∴BG：CD=BF：CF=1：2n，
∴2n=8，
解得：n=4．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、正方形的性質以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．