Question

【題目】在一次數學活動中，小輝將一塊矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展開，再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕.同時，得到了線段.

（1）如圖，若點剛好落在折痕上時，

①過作，求證：；

②求的度數；

（2）如圖，當為射線上的一個動點時，已知，，若的直角三角形時，請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）或.

【解析】

（1）①連接AN，首先由折疊易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E為AB中點，從而證得△BAN為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠NBG=30°即可；；
②由①可得∠NBM=30°，從而求得∠BMN=60°，即可求得∠AMN的值；
（2）根據四邊形ABCD為矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分當∠NBC=90°、當∠BNC=90° N在矩形ABCD內部、當∠BNC=90° N在矩形ABCD外部時三種情況利用勾股定理求得結論即可．

①證明：連接AN，

∵由折疊易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E為AB中點，

∴AB=BN，NA=BN，
∴△BAN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，

∵∠ABC=90°，
∴∠NBG=30°；

∵∠NGB=90°，

∴

②由①得：△BAN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
由折疊得，∠NBM=∠ABM=30°，∠MNB=∠BAM=90°，

∴∠BMN=∠BMA=60°.

∴=120°

（2）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠MNB=90°，
①當∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合題意，舍去，
②當∠BNC=90°，N在矩形ABCD內部，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三點共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°
∴NC=4
設AM=MN=x
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（5-x）2=（4+x）2，
解得x=1；
③當∠BNC=90° N在矩形ABCD外部時，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三點共線，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
設AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中 ，CD2+MD2=MC2
32+（y-5）2=（y-4）2，
解得y=9，
綜上所述：當AM=1或9時△NBC是直角三角形．