Question

若關于x的一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的兩實數根為x₁、x₂，且x₁+x₂=

2m-3

m2

，x₁•x₂=

1

m2

，兩實數根的倒數和是S．
求：（1）m的取值范圍；（2）S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為一元二次方程m²x²-（2m-3）x+1=0的兩實數根，所以△≥0，又因為此方程為一元二次方程，二次項系數不能為零．
（2）先用代數式表示兩實數根的倒數和，然后將此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，再用m的取值范圍確定S的取值范圍．

解答：解：（1）∵b²-4ac=-12m+9≥0，
∴m≤

3

4

，
又∵m²≠0，
∴m≤

3

4

且m≠0；

（2）S=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2m-3
∴m=

S+3

2

，
即

S+3

2

≤

3

4

，
∴S≤-

3

2

，
又∵m≠0即

S+3

2

≠0，
∴S≠-3
∴S≤-

3

2

且S≠-3．

點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
易錯易混點：很多學生很容易根據△≥0來確定m的取值范圍，而疏忽了二次項系數不能為零的條件．