Question

【題目】如圖已知：是圓的直徑，，點為圓上異于點、的一點，點為弦的中點.

（1）如果交于點，求：的值；

（2）如果于點，求的正弦值；

（3）如果，為上一動點，過作，交于點，與射線交于圓內點，請完成下列探究.

探究一：設，，求關于的函數(shù)解析式及其定義域.

探究二：如果點在以為圓心，為半徑的圓上，寫出此時的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）探究一： （其中）；探究二：.

【解析】

（1）如圖1，過點O作ON∥BC交AM于點N，根據(jù)三角形的中位線的性質得到ON=BM，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結論；

（2）如圖1，連接OM，根據(jù)垂徑定理得到OM⊥BC，根據(jù)余角的性質得到∠OME=∠MCE，根據(jù)相似三角形的性質得到ME2=OECE，設OE=x，則CE=2x，ME=x，解直角三角形即可得到結論；

（3）探究一：如圖2，過點D作DL⊥DF交BO于點L，根據(jù)平行線的性質得到∠LDB=∠C=∠B，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到BL=DL，設BD=x，則CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8x)，OH=OC-CH=5-（8-x），根據(jù)平行線成線段成比例定理得到y=（其中＜x＜）；

探究二：根據(jù)題意得到OF=OD，根據(jù)等腰三角形的性質得到DF⊥OC，根據(jù)直角三角形的性質得到FO=OL，列方程即可得到結論．

（1）如圖1，過點O作ON∥BC交AM于點N，

∵點O是AB的中點，

∴點N是AM的中點，

∴ON=BM，

∵點M為弦BC的中點，

∴BM=CM，

∴ON=CM，

∵ON∥BC，

∴；

（2）如圖1，連接OM，

∵點M為弦BC的中點，

∴OM⊥BC，

∵AM⊥OC于點E，

∴∴∠OME+∠CME=∠CME+∠C=90°，

∴∠OME=∠MCE，

∴△OME∽△MCE，

∴ME2=OECE，

設OE=x，則CE=2x，ME=x，

在Rt△MCE中，CM==x，

∴sin∠ECM===，

∴sin∠ABC=；

（3）探究一：如圖2，過點作于點，

∵DF⊥OC，

∴DL∥OC，

∴∠LDB=∠C=∠B，

∴BL=DL，

∵AB=10，AB：BC=5：4，

設BD=x，則CD=8-x，BL=DL=x，CH=(8x)，OH=OC-CH=5-（8-x），

∵OH∥DL，

∴=，

∴，

∴y=（其中）；

探究二：∵以O為圓心，OF為半徑的圓經過D，

∴OF=OD，

∵DF⊥OC，

∴OC垂直平分DF，FO=OL，

∴y=5-x，

∴＝5x，

解得：x=，

∴BD=．