Question

（2010•荊門）將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片，如圖（1）；再次折疊該三角形紙片，使得點A與點D重合，折痕為EF，再次展平后連接DE、DF，如圖2，證明：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

【答案】分析：第一次折疊，AC落在AB邊上，則折痕AD平分∠BAC，∠EAD=∠FAD；
第二次折疊，A、D重合，則∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA；AE=ED、AF=FD；
易證得△AED≌△AFD，得AE=AF、DE=DF，再根據第二次折疊所得到的AE=DE、AF=FD，可證得四邊形AEDF的四邊相等，由此可判定四邊形AEDF是菱形．
解答：證明：由第一次折疊可知：AD為∠CAB的平分線，∴∠1=∠2（2分）
由第二次折疊可知：∠CAB=∠EDF，
∵AE=ED，AF=FD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4（4分），
在△AED與△AFD中

∴△AED≌△AFD（ASA）（6分）
∴AE=AF，DE=DF，
∴EO=FO，AO=DO，AD⊥EF，
故四邊形AEDF是菱形．（9分）
點評：此題考查了折疊的性質、全等三角形的判定和性質及菱形的判定方法．