Question

如圖BC是半圓⊙O的直徑，D是弧AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E．
（1）求證：AC•BC=2•BD•CD；
（2）P是BD的中點，過P作PQ∥AB交OA于點Q，若AE=3，CD=2

5

，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD交AC于H，根據垂徑定理求出OD⊥AC，AC=2AH=2CH，證△CDB∽△DHC，推出BD•CD=HC•BC即可；
（2）設EH=x，AD²=DH²+AH²，證△DHE∽△CHD，推出DH²=EH•AH，得到方程，求出方程的解，求出DH、AH、AC、AB，連接OP，延長OP交AB于M，根據平行線分線段成比例定理得到
BM=OD=5，OP=PM，根據三角形的中位線定理求出即可．

解答：（1）證明：連接OD交AC于H，
∵D是弧AC的中點，
∴

AD

=

CD

，
∴∠ACD=∠DBC，
∵BC是圓O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∵弧AD=弧CD，OD是半徑，
∴OD⊥AC，AC=2AH=2CH，
∴∠DHC=∠BDC=90°，
∵∠ACD=∠DBC，
∴△CDB∽△DHC，
∴

BD

HC

=

BC

CD

，
BD•CD=HC•BC，
∴2BD•CD=2HC•BC，
即AC•BC=2•BD•CD．

（2）解：∵弧AD=弧CD，
∴OD⊥AC，AC=2AH=2CH，
∴∠DHC=∠DHE=90°，∠DEH+∠EDH=90°，
∵∠EDH+∠CDH=90°，
∴∠DEH=∠CDH，
∴△DHE∽△CHD，
∴DH²=EH•AH，
設EH=x，AD²=DH²+AH²，
∴x(x+3)+(3+x)2=(2

5

)2，
解得：x=1，DH=2，
設圓O的半徑是R，
在△OAH中，由勾股定理得：R²=（R-2）²+（3+1）²，
解得：R=5，BC=10，OD=5，AC=2×4=8，
由勾股定理得：AB=

BC2-AC2

=6，
連接OP，延長OP交AB于M，
∵BC是圓O的直徑，
∴∠B=90°，
∵OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∴

DO

BM

=

DP

BP

=

OP

PM

，
∵P為BD的中點，
∴BP=PD，
∴BM=OD=5，OP=PM，
∴PQ=

1

2

AM=

1

2

（AB-OD）=

1

2

×（6-5）=

1

2

，
答：PQ的長是

1

2

．

點評：本題主要考查對平行線分線段成比例定理，勾股定理，相似三角形的性質和判定，垂徑定理，圓周角定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．