Question

等邊△ABC邊長為5，D是邊BC上一點，且BD=2，M、N分別是AB、AC上的兩個動點，當M點在AB上運動時，保持∠MDN=60°，設BM=x，CN=y，
（1）求y與x之間的函數關系式并求出自變量x的取值范圍．
（2）連接MN，當M點運動到什么位置時，△MDN是等邊三角形；
（3）連接MN，當△MDN是直角三角形時，求此時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質和已知條件可證△BMD∽△CDN，根據相似三角形的性質即可得出y與x之間的函數關系式；
（2）根據相似三角形的性質和等邊三角形的判定即可得到M點運動的位置；
（3）分①當∠DMN=90°時，∠MND=30°；②當∠DNM=90°時，∠DMN=30°兩種情況討論即可得到當△MDN是直角三角形時x的值．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，
∵∠BMD=180°-∠B-∠BDM，∠CDN=180°-∠MDN-∠BDM
∴∠BMD=∠CDN，
∴△BMD∽△CDN，
∴，
∵BD=2，
∴CD=5-2=3，
∴，
∴，
由題意知，x≤5，y≤5；當y≤5時，
∴自變量x的取值范圍是：1.2≤x≤5；

（2）當BM=3時，△MDN是等邊三角形，理由如下：
∵△BMD∽△CDN，
∴，
∵BM=CD=3，
∴MD=DN，
∵∠MDN=60°，
∴△MDN是等邊三角形；

（3）∵△BMD∽△CDN，
∴，
①當∠DMN=90°時，∠MND=30°，
∴，
∴，
∴；
②當∠DNM=90°時，∠DMN=30°，
∴DM=2DN
∴，
∴x=6，
由（1）知1.2≤x≤5知不合題意舍去．
綜合①②可知，當△MDN是直角三角形時，x的值為．
點評：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到等邊三角形的判定和性質、相似三角形的判定與性質，函數思想和分類思想，有一定的綜合性，難度適中．