Question

如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．下列結論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AO•AP=OB²．其中正確的序號是    ．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】分析：設AD=x，AB=2x，根據矩形的性質得出AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，求出DE=CE=x，CP=x，BP=x，根據tan∠CEP=，tan∠EBC=，求出∠CEP=30°，∠EBC=30°，∠CEB=60°，即可判斷①；證出∠F=∠EBP和∠PEB=∠PEB，即可推出△EBP∽△EFB，判斷②即可；證△ECP∽△FBP和△ABP≌△FBP，即可判斷③，證出△AOB∽△BOP，得出=，推出OB²=AO•OP，即可判斷④．
解答：解：設AD=x，AB=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=x，AB=CD=x，∠D=∠C=∠ABC=90°，DC∥AB，
∵E為CD中點，
∴DE=CE=x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x，
∵tan∠CEP===，tan∠EBC===，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∵∠C=90°，
∴∠CEB=60°，
∴∠BEP=30°=∠CEP，
即EP平分∠CEB，∴①正確；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∵∠EBP=30°，
∴∠F=∠EBP，
∵∠PEB=∠PEB，
∴△EBP∽△EFB，∴②正確；
∵DC∥AB，
∴△ECP∽△FBP，
∴==，
∴EC=BF，
∵E為CD中點，
AB=CD，
∴EC=CD=AB，
∴AB=BF，
在△ABP和△FBP中
，
∴△ABP≌△FBP，
∵△ECP∽△FBP，
∴△ABP∽△ECP，∴③正確；
∵△ABP≌△FBP，
∴∠PAB=∠F=∠CEP=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB=60°，
∵∠EBC=30°，
∴∠AOB=30°+60°=90°=∠POB，
∵∠PAB=∠PBO=30°，
∴△AOB∽△BOP，
∴=，
∴OB²=AO•OP，∴AO•AP=OB²不對，∴④錯誤；
故答案為：①②③．
點評：本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，難度偏大，綜合性比較強．