Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經過原點O且與x軸另一交點為A．
（1）求點A的坐標；
（2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式；
（3）現將拋物線C1繞著點P（m，0）旋轉180°后得到拋物線C2 ， 若拋物線C2的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C1上時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經過原點O，

∴0=4a+b，

∴當ax2+4ax+4a+b=0時，則ax2+4ax=0，

解得：x=0或﹣4，

∴拋物線與x軸另一交點A坐標是（﹣4，0）

（2）

解：∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如圖1）

∴頂點M坐標為（﹣2，b），

∵△AMO為等腰直角三角形，

∴b=2，

∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，

∴a（0+2）2+2=0，

解得：a=﹣ ，

∴拋物線C1：y=﹣ x2﹣2x

（3）

解：∵b=1，拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，（如圖2）

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+2）2+1=﹣ x2﹣x，

設N（n，﹣1），又因為點P（m，0），

∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2

即點N的坐標是（2m+2，﹣1），

∵頂點N在拋物線C1上，

∴﹣1=﹣ （2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+ 或﹣2﹣

【解析】（1）由拋物線經過原點可知當x=0時，y=0，由此可得關于x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點坐標；（2）由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點為M，可求出b的值，再把原點坐標（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C1的解析式；（3）由b=1，易求線拋物線C1的解析式，設N（n，﹣1），再由點P（m，0）可求出n和m的關系，當頂點N在拋物線C1上可把N的坐標代入拋物線即可求出m的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．