Question

如圖1，已知，CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，點P是CE的延長線上任意一點，BG⊥AP，
求證：（1）△AEP∽△DEB；（2）CE²=ED•EP．
若點P在線段CE上或EC的延長線上時（如圖2和圖3），上述結論CE²=ED•EP還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（圖2和圖3挑選一張給予說明即）

Answer 1

分析：（1）根據等角的余角相等可以證明∠P=∠DBE，從而根據兩個角對應相等可以證明兩個三角形相似；
（2）根據相似三角形的性質進行證明．

解答：證明：（1）∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB；

（2）選圖2．成立，理由如下：
∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴△ACE∽△CBE，
∴

CE

AE

=

BE

CE

，
即CE²=AE•BE．
和（1）中的證明同理，得△AEP∽△DEB，
∴

AE

ED

=

EP

BE

，
即AE•BE=ED•EP，
∴BE=

ED•EP

AE

，即AE•BE=ED•EP，
又CE²=AE•BE，
∴CE²=ED•EP．

點評：此題綜合運用了相似三角形的判定和性質．注意：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形和原三角形相似．