Question

【題目】在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，且，，若為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直．則稱該矩形為點的相關矩形"．下圖為點的“相關矩形”的示意圖．

已知點的坐標為．

若點的坐標為，求點的“相關矩形”的周長；

點在直線上，若點的“相關矩形”為正方形，已知拋物線經過點和點，求拋物線與軸的交點的坐標；

的半徑為，點是直線上的從左向右的一個動點．若在上存在一點使得點的“相關矩形”為正方形，直接寫出動點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①12；②（0，2）或（0，4）；（2）4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.

【解析】

（1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形周長，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的長與寬，進而可求出該矩形的周長；
②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再將A（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值，從而可得點C的坐標，求出拋物線的表達式即可得到點D的坐標；
（2）由定義可知，EF必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線EF與x軸的夾角為45°，由因為點F在圓O上，所以該直線EF與圓O一定要有交點，由此可以求出點E的橫坐標的范圍．

解：（1）①∵A（1，0），B（2，5）
由定義可知：點A，B的“相關矩形”的長與寬分別為5和1，
∴點A，B的“相關矩形”的周長為2×（5+1）=12；
②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，
又∵點A，C的“相關矩形”為正方形
∴直線AC與x軸的夾角為45°，
設直線AC的解析為：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）代入y=x+m，
∴m=-1，
∴直線AC的解析為：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
∴直線AC的表達式為y=x-1或y=-x+1，

∵點C在直線x=3上，代入，

∴點C的坐標為（3，2）或（3，-2），

當點C坐標為（3，2）時，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴拋物線表達式為：，

與y軸交點為（0，2）；

當點C坐標為（3，-2）時，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴拋物線表達式為：，

與y軸交點為（0，4）；

∴拋物線與y軸的交點D的坐標為（0，2）或（0，4）；
（2）設直線EF的解析式為y=kx+b，
∵點E，F的“相關矩形”為正方形，
∴由定義可知：直線EF與x軸的夾角為45°，
∴k=±1，
∵點F在⊙O上，
∴當直線EF與⊙O有交點時，點E，F的“相關矩形”為正方形，
當k=1時，
作⊙O的切線AD和BC，且與直線EF平行，
其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，
連接OA，OC，

設點E（m，3），把E代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直線EF的解析式為：y=x+3-m，
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，OA=4，
∴OD=4，
∴D（0，4），
同理可得：B（0，-4），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-4≤3-m≤4，
∴4-3≤m≤4+3，
當k=-1時，把E（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直線MN的解析式為：y=-x+3+m，
同理可得：-4≤3+m≤4，
∴-4-3≤m≤4-3；
綜上所述，當點E，F的“相關矩形”為正方形時，點E橫坐標取值范圍是：4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.