Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過原點O，交x軸于點A，其頂點B的坐標為（3，）．
（1）直接寫出拋物線的解析式及點A的坐標；
（2）設拋物線上的點Q，使△QAO與△AOB相似（不全等），求出點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，已知點M（0，），連結QM并延長交拋物線另一點R，在直線QR下方的拋物線上找點P，當△PQR面積最大時，求點P的坐標及S_△PQR的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數經過原點，可得c=0，然后根據函數的對稱軸，及函數圖象經過點（3，- ）可得出函數解析式，根據二次函數的對稱性可直接得出點A的坐標．
（2）點Q不與點B重合．先求出∠BOA的度數，然后可確定∠Q₁OA=的度數，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標，利用二次函數圖象函數的對稱性可得出Q₂的坐標．
（3）將M（0，）、Q₁（9，3）代入y=kx+b，得直線QR的解析式為，求與拋物線的交點R：P點在直線QR下方且在拋物線上，故設P（x，），
如圖，過P作直線平行于y軸，交QR于點K，則K（x，），則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=PK（9-x+x+1）=-，所以根據求二次函數最值的方法知當x=4時，S_△PQR最大=，則易求點P的坐標．同理求得P₂（0，0），S_△PQR最大=3．
解答：解：（1）由函數圖象經過原點得，函數解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數的頂點坐標為B（3，），
∴，
解得，
∴該函數解析式為：，
∴由二次函數圖象的對稱性可知，點A與原點關于x=3對稱，
∴點A的坐標為（6，0）；
綜上所述，拋物線的解析式為，點A的坐標為（6，0）；

（2）過B作BC⊥x軸于點C，Rt△OCB中，tan∠OBC=，
∴∠OBC=60°，
∴∠OBA=120°，△AOB是頂角為120°的等腰三角形，當點Q在x軸下方時，必與點B重合（舍去全等情況），
∴當Q在x軸上方時，過Q作QD⊥x軸，
∵△QAO∽△AOB，
∴必有OA=AQ=6，且∠OAQ=120°，
∴∠QAD=60°，
∴AD=3，QD=3，
∴Q（9，3）．
∵Q（9，3）滿足，
∴Q在拋物線上，
根據對稱性Q₂（也滿足條件，
∴符合條件的Q點有兩個：Q₁（9，3）、Q₂（；

（3）設直線QR的解析式為y=kx+b（k≠0）．
將M（0，）、Q₁（9，3）代入y=kx+b，得直線QR的解析式為，
令=
解得x₁=-1，x₂=9（即Q點舍去），
∴R（-1，），
∵P點在直線QR下方且在拋物線上，故設P（x，）．
如圖，過P作直線平行于y軸，交QR于點K，則K（x，）
則S_△PQR=S_△QPK+S_△RPK=PK（9-x+x+1）=[-（）]×10
=-
當x=4時，S_△PQR最大=，
∴點P的坐標為（4，）．
同理過Q₂（、M的直線交拋物線R₂，在Q₂R₂下方拋物線取點P₂，
解得P₂（0，0），S_△PQR最大=3．
點評：此題屬于二次函數的綜合題目，涉及了待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定與性質，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細分析，分步解答．