Question

已知拋物線y=ax²+6ax+c交x軸負半軸于A，B兩點，以AB為邊的矩形ABCD的頂點C，D在第二象限，過D點的直線y=ax+3a與x軸交于E．
（1）求S_△ADE：S_矩形ABCD；
（2）當S_△ADE=1，且拋物線的頂點在CD邊上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線上是否存在一點P，使△APB為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可得，拋物線的對稱軸為x=-3，由直線DE的解析式可得E（-3，0），因此點E正好在拋物線的對稱軸上，即AE=

1

2

AB，然后分別表示出△ADE和矩形的面積，即可得到它們的比例關系．
（2）利用拋物線的解析式，可求得拋物線的頂點坐標，和A、B兩點的坐標，即可得到AB、AD的長，然后分別表示出△ADE和矩形的面積表達式，聯立兩式即可求得a、c的值．
（3）根據拋物線的解析式可得到A、B的坐標，顯然A、B都不可能是直角頂點，那么只有一種可能，即∠APB=90°，可設出點P的坐標，利用AP⊥BP，即兩直線的斜率的積為-1即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）易知：拋物線的對稱軸為x=-3，E（-3，0）；
則E點在拋物線的對稱軸上，
即AE=BE=

1

2

AB；
由于S_△ADE=

1

2

AE•AD=

1

4

AB•AD=

1

4

S_矩形ABCD；
故S_△ADE：S_矩形ABCD=1：4．

（2）由（1）知：S_矩形ABCD=4S_△ADE=4；
∴AB═BC=2，
∵E（-3，0），
∴拋物線的頂點坐標為：（-3，2），B（-2，0），
設y=a（x+3）²+2，
∴a+2=0，
解得：a=-2，
∴拋物線的解析式為：y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16．

（3）根據（2）得A（-4，0），B（-2，0）；
設P（x，-2x²-12x-16），
由于∠PAB和∠PBA都不可能是直角，
則只有一種情況：AP⊥PB，
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于-1，
∴

-2x2-12x-16

x+4

•

-2x2-12x-16

x+2

=-1，
整理得：4x²+24x+33=0，
解得x=

-6± 3

2

，
代入拋物線的解析式中，可得P點坐標為：
P（

-6+ 3

2

，

1

2

）或（

-6- 3

2

，

1

2

）．

點評：此題主要考查了矩形的性質、拋物線的對稱性、圖形面積的計算方法、二次函數解析式的確定以及直角三角形的判定方法等知識，由于此題的數據大都是未知數，而且計算量較大，因此難度也較大．