Question

已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，設切點為C．

（1）當點P在AB延長線上的位置如圖1所示時，連接AC，作∠APC的平分線，交AC于點D，請你測量出∠CDP的度數；
（2）當點P在AB延長線上的位置如圖2和圖3所示時，連接AC，請你分別在這兩個圖中用尺規作∠APC的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．設此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖中分別測量出∠CDP的度數；猜想：∠CDP的度數是否隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化？請對你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用量角器測量即可；
（2）連接BC，根據弦切角與它所夾弧所對的圓周角的關系，可以判斷∠1=∠A，再根據三角形的外角等于和它不相鄰的內角的和求出各角之間的關系．

解答：解：（1）測量結果：∠CDP=45°，圖2中的測量結果：∠CDP=45°，圖3中的測量結果：∠CDP=45°．

（2）猜想：∠CDP=45°為確定的值，∠CDP的度數不隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化．
證法一：連接BC
∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90°
∵PC切⊙O于點C
∴∠1=∠A
∵PD平分∠APC
∴∠2=∠3
∵∠4=∠1+∠2，∠CDP=∠A+∠3
∴CDP=45°
∴猜想正確．
證法（二）：連接OC
∵PC切⊙O于點C
∴PC⊥OC
∴∠1+∠CPO=90°
∵PD平分∠APC
∴∠2=

1

2

∠CPO
∵OA=OC
∴∠A=∠3
∵∠1=∠A+∠3
∴∠A=

1

2

∠1
∴∠CDP=∠A+∠2=

1

2

（∠1+∠CPO）=45°
∴猜想正確．

點評：此題是一道探索性題目，先進行測量，根據測量結果進行推測，然后根據弦切角定理和三角形內角與外角的關系進行證明．