Question

【題目】如圖，AD是的切線，切點為A，AB是的弦，過點B作，交于點C，連接AC，過點C作，交AD于點D，連接AO并延長AO交BC于點M，交于點E，交過點C的直線于點P，且．

求證：；

判斷直線PC與的位置關系，并說明理由；

若，，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）與圓O相切，理由見解析.（3）

【解析】分析：（1）由AD是⊙O的切線，BC∥AD，易得AO⊥BC，然后由垂徑定理求得，繼而證得結論；

（2）過C點作直徑CF，連接FB，由CF為直徑得∠F+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD，所以∠F=∠BCP，于是∠BCP+∠BCF=90°，然后根據切線的判斷得到結論；

（3）根據切線的性質得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據垂徑定理求得BM與CM的長，根據等腰三角形性質有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據勾股定理計算出AM=6，設⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6-r，在Rt△OCM中，根據勾股定理計算出r的值即可．

詳解：證明：是的切線，

，

，

，

，

；

與圓O相切，理由為：

解：過C點作直徑CF，連接FB，如圖，

為直徑，

，即，

，

，

，．

，

，即，

，

與圓O相切；

解：是的切線，切點為A

，

，

，

，

，

在中，，

設的半徑為r，則，，

在中，，即，

解得：，

，，

，

，

∽，

：：FB，

，

．